(풀이)
Pi : A가 i점으로 시작해서 게임을 '이길' 확률
H : 동전을 던지는 시행에서 '앞면'이 나올 사건
E : A가 '게임을 끝낼' 사건
이라고 하면
Pi 는 아래의 식과 같이 쓸 수 있습니다.
이렇게 쓸 수 있는 이유는,
어떤 사건의 확률을,
그 사건을 구성하는 서로 배반인 사건들의 확률의 합으로
나타낼 수 있기 때문입니다.
이 관점에서 위의 식을 설명하자면,
i개의 점수로 시작해서 게임을 이길 사건은
처음의 동전이 앞면이 나온 상태에서 이길 사건과
반대로 처음의 동전이 뒷면이 나온 상태에서 이길 사건으로
나눠서 볼 수 있습니다.
이는 '첫 번째 시행의 결과에 따라' 사건을 나눈 것입니다.
이 기준으로 나눈다고 한다면
앞이 나왔는지 뒤가 나왔는지의 두 가지로밖에 나눠질 수 없고
서로 배반이란 사실이 명백하므로
두 사건의 합이 곧 A가 이길 사건과 같아질 수밖에 없습니다.
그런데,
위에서 사용된 조건부확률은 다시 Pi 꼴로 쓸 수 있습니다.
첫번째에 제시된 조건부확률은
첫 번째 시행에서 앞면이 나왔을 때, A가 이길 확률입니다.
첫 시행에서 앞면이 나왔다는 것은
A가 처음 갖고있던 i점에 추가로 1점을 얻은 상태에서
이 상태에서 A가 이길 확률이므로
P{i+1} 이라고 볼 수 있기 때문에 두 확률은 equal 관계가 성립합니다.
아래의 식은 반대로, 좌변이
첫번째 시행에서 앞면이 나오지 않았을때 A가 이길 확률,
다시말해 뒷면이 나왔을 때 A가 이길 확률이므로
처음 갖고있던 i점에서 1점을 B에게 주고
i-1 점이 된 상태에서 이길 확률이므로
P{i - 1} 이라 볼 수 있습니다.
이 사실을 적용해서 처음의 식을 다시 써보면
라고 쓸 수 있습니다. 이 식을 ㄱ식이라 하겠습니다.
그리고,
문제에서 p가 동전의 앞면이 나올 확률로 p라 했고,
q가 동전의 뒷면이 나올 확률로 1-p = q 라고 했으므로
p + q = 1 입니다.
이 사실에 의해서 아래와 같이 식이 성립됩니다.
이 식의 우변을 ㄴ식이라 하겠습니다.
그런데
두 ㄱ, ㄴ식의 좌변이 Pi로서 같으므로
두 식의 우변은 equal 로서 연결 될 수 있습니다.
써서 정리해보면,
와 같은 변수 i에 대한 확률의
점화식이 나타납니다.
여기서 잠깐, 이 사실들을 보고갑시다.
P{N} 이라 하면, A가 처음에 N점을 갖고 시작해서
게임을 이길 확률입니다.
그런데 문제상에서 A와 B가 갖고있는 점수의 합은 총 N점입니다.
이 N점을 처음에 A가 모두 갖고 게임을 시작한다면
게임을 하지 않아도 그냥 A가 이긴 것입니다.
그러므로, 이 경우의 이길 확률은 100%, 즉 1이 되어 위와같이 쓸수 있습니다.
반대로, A가 0점을 갖고 시작하면
이건 게임을 하지 않아도 A의 패배입니다.
따라서, A가 0점을 갖고 시작해서
'이길' 확률인 P{0}는
0%, 즉 0이 됩니다.
다시 위의 점화식으로 가겠습니다.
이번엔
점화식의 변수 i에,
모든 가능한 N-1 개의 값들을 대입한
N-1 개의 등식들을 나열합니다.
우선은
위의 나열된 점화식 중에서,
1번째 점화식 부터 i-1 번째 점화식까지만 더하겠습니다.
그러면
등비수열의 합으로서 정리될 수 있는데요,
아래와 같이 나타납니다.
그런데, 우리가 위 식에서 P{1}의 값은 모릅니다.
따라서, P{1}을 조사해봐야 하는데,
위에서 잠깐 살펴보고 온 사실들을 이용해서
조사할 수 있습니다.
이를 위해서,
이번엔
1번째 점화식부터
N-1 번째 점화식까지,
다시말해 모든 점화식을 더합니다.
그러면, 역시 이번에도
위와 같은 원리로
등비수열의 합으로서 정리될 수 있는데
로 정리될 수 있고,
위에서 P{N}의 값이 1이라는 사실을 통해서
오른쪽과 같이
P1을 유도해낼 수 있습니다.
그런데, 위의 식에서 조건을 갑자기 q/p 의 분수꼴이 아닌
p로서만 표현을 해놓아서 의아하실 것 같아서
잠깐 이야기하겠습니다.
처음에 우측에 붙던 조건은,
q/p = 1인가 아닌가 였습니다.
이식에서 양변에 p를 곱해주면
p = q 가 되는데요,
결국
처음에 사용하던 조건은
p = q 인가 아닌가로도
표시할 수가 있다는 것입니다.
그런데, p = q 인 경우,
p와 q의 가능한 값은
각각 0.5 뿐입니다.
이 이유는, p + q = 1 이기 때문입니다.
이 이야기를, 아래에 수식으로서
표현하겠습니다.
이제 드디어,
방금 구한 P{1}을
P{i} 식에 대입해서 정리해주면
우리가 원하는 확률,
Pi가 어떻게 계산되는지를
알 수 있습니다.
써보면,
A가 i점을 갖고 시작해서 이 도박에서 이길 확률 Pi는
이 됩니다.
우리는 이제
A가 동전을 던지는 도박을 해서
상대방을 이길 '확률'이
상황에 맞는 N, i, p, q 수치 하에서
얼마가 되는지를
알 수 있게 되었습니다.
이해가 되셨나요 ?
심오한 수학 이론에 대한 얘기가 아니라 단순히 재미로
이럴때의 확률은 얼마나 될까 하는 것을 생각해보자는
문제이니만큼 재미있게 봐주셨다면 좋겠습니다 ^^
사실 이 문제에 대해서
이보다 더 나아간 논의도 있습니다만
이 글에서는 A가 이길 확률까지만
살펴봤습니다.
지금까지 읽어주셔서 감사합니다 ~~
